贡献者： addis; ChatGPT
1我们举例说明如何用长除法计算开根号
例 1
图 1：手动开根号的例子，计算 $\sqrt{21} = 4.582\dots$
作为一个例子，我们来计算 $\sqrt{21}$。首先试一个最大的一位数 $x$（红色，范围 0-9），使它的平方小于等于 $21$，易得 $4$。把 $4$ 分别写到根号左边和上方，相乘得 $16$ 写到 $21$ 下方。现在计算 $21-16 = 5$，写到下方并在后面添加两个零得 $500$。接下来把最上方的 $4$ 乘以 $20$ 写到第二个根号左边，并试一个橙色的最大一位数 $x$ 使得 $(80+x) x$ 同样小于等于 $500$，易得 $x = 5$，$85\times 5 = 425$。继续用 $500-425$ 并在后面加两个零得 $7500$。把当前最上方的两位数 $45$ 乘以 $20$ 得 $900$ 写到第三个根号左边，再试一位绿色的数 $x$，使 $(900+ x) x$ 小于等于 $7500$，易得 $x = 8$，$908\times 8 = 7264$。再算 $7500-7264$，添加两个零得 $23600$。把最上方所得三位数 $458$ 乘以 $20$ 写到第四个根号左边，试一位蓝色的数 $x$ 使 $(9160+x)x$ 小于等于 $23600$，得 $x = 2$。以此类推，就可以精确到任意位小数，即 $\sqrt{21} = 4.582\dots$。
注意该方法也适用于对非整数开根号。另外如果要开根的数大于 $100$ 或小于 $1$，可以先把它乘以 $100^{N}$（$N$ 为任意整数）使其落到 $1$ 到 $100$ 之间，开完根后再除以 $10^N$ 即可。这是因为 $\sqrt{100^{N} x}/10^N = \sqrt{x}$。这种做法可以保证上述的第一步中总是可以用一个一位数试根。
注意该算法适合手动计算，但并不适合用于在计算机中实际使用，计算机一般用效率更高的迭代法等。
推导
若我们要算 $s^2$ 的开根号，并假设 $s$ 的 $n$ 位有效数字（不做四舍五入）为 $s_n$，例如 $s = \sqrt{2} = 1.414213562\dots$，则 $s_1 = 1$，$s_2=1.4$，$s_3=1.41$，……那么显然有
\begin{equation}
s^2 = s_1^2 + (s_2+s_1)(s_2-s_1) + (s_3+s_2)(s_3-s_2) + \dots~
\end{equation}
现在，第 $i$ 位有效数字（小数点位置不变）为 $d_i = s_i-s_{i-1}$，且 $d_1 = s_1$，易得
\begin{equation}
s^2 = d_1^2 + (2s_1 + d_2)d_2 + (2s_2 + d_3)d_3 + \dots~
\end{equation}
现在，若已知 $s^2$，我们就可以先试出最大的 $d_1$，满足 $d_1^2\leqslant s^2$。然后再试出最大的 $d_2$，满足 $(2s_1 + d_2)d_2 \leqslant s^2 - d_1^2$，以此类推就可以求出任意位的小数。
1. 教学代码
这里给出上面计算过程的 Matlab 代码 sqrt_hand.m，若有例子不会算可以用它来教学。例如要计算图 1 中的例子 $\sqrt{21}$ 的 6 位小数，可以调用 sqrt_hand(21, 6)，输出如下：
4.58257...
-----------------
4, 4, 21, 16
5, 85, 500, 425
8, 908, 7500, 7264
2, 9162, 23600, 18324
5, 91645, 527600, 458225
7, 916507, 6937500, 6415549
sqrt_hand(3, 6)
1.73205...
-----------------
1, 1, 3, 1
7, 27, 200, 189
3, 343, 1100, 1029
2, 3462, 7100, 6924
0, 34640, 17600, 0
5, 346405, 1760000, 1732025
sqrt_hand(0.3, 6)（实际计算 $\sqrt{30}$）
0.54772...
-----------------
5, 5, 30, 25
4, 104, 500, 416
7, 1087, 8400, 7609
7, 10947, 79100, 76629
2, 109542, 247100, 219084
2, 1095442, 2801600, 2190884
sqrt_hand(8, 6)
2.82842...
-----------------
2, 2, 8, 4
8, 48, 400, 384
2, 562, 1600, 1124
8, 5648, 47600, 45184
4, 56564, 241600, 226256
2, 565682, 1534400, 1131364
sqrt_hand(110, 6)（实际计算 $\sqrt{1.1}$）
10.4880...
-----------------
1, 1, 1.1, 1
0, 20, 10, 0
4, 204, 1000, 816
8, 2088, 18400, 16704
8, 20968, 169600, 167744
0, 209760, 185600, 0
代码 1：sqrt_hand.m
function sqrt_hand(x, N)
if x <= 0
error('x <= 0');
end
if N > 14
error('too many digits!');
end
order = log10(x); % 0 to 2
scale = round((1-order)/2)*2;
ans_str = num2str(sqrt(x), N+2);
disp([ans_str(1:N+1) '...']);
x1 = x*10^scale;
d = zeros(1, N);
tmp = sqrt(x1);
% get digits (cheating)
for i = 1:N
d(i) = floor(tmp);
tmp = (tmp-d(i))*10;
end
rem = x1;
disp('-----------------');
left0 = 0;
for i = 1:N
left = left0*10 + d(i);
low = left*d(i);
disp(d(i) + ", " + left + ", " + rem + ", " + low);
rem = (rem - low)*100;
left0 = left0*10 + d(i)*2;
end
end
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。